Kuinka löytää polynomin juuret

Sisältö

• Kuinka monta juuria?
• varoitukset
• Löydä juuret tekijän mukaan: Esimerkki 1
• Löydä juuret tekijän mukaan: Esimerkki 2
• Etsi juuret piirtämällä

Polynomin juuria kutsutaan myös sen nollaksi, koska juuret ovat x arvot, joissa funktio on nolla. Kun kyse on juurten löytämisestä, sinulla on käytettävissään useita tekniikoita; factoring on menetelmä, jota käytetään useimmiten, vaikka kuvaaja voi olla hyödyllinen myös.

Kuinka monta juuria?

Tutki polynomin korkeimman asteen termi - eli termi, jolla on korkein eksponentti. Tuo eksponentti on, kuinka monta juuria polynomilla on. Joten jos polynomisi korkein eksponentti on 2, sillä on kaksi juuria; jos suurin eksponentti on 3, sillä on kolme juuria; ja niin edelleen.

varoitukset

Löydä juuret tekijän mukaan: Esimerkki 1

Monipuolisin tapa löytää juuret on faktoida polynomi niin paljon kuin mahdollista ja sitten asettaa jokainen termi nollaksi. Tämä tekee paljon järkevämmäksi, kun olet seurannut muutama esimerkki. Mieti yksinkertaista polynomia x² - 4_x: _

Lyhyt tutkimus osoittaa, että voit vaikuttaa x polynomin molemmista termeistä, joka antaa sinulle:

x(x – 4)

Aseta jokainen termi nollaan. Tämä tarkoittaa kahden yhtälön ratkaisua:




x = 0 on ensimmäinen nollaan asetettu termi, ja

x - 4 = 0 on toinen nollaan asetettu termi.

Sinulla on jo ratkaisu ensimmäiseen kauteen. Jos x = 0, niin koko lauseke on nolla. Niin x = 0 on yksi polynomin juurista tai nolla.

Harkitse nyt toista kautta ja ratkaise x. Jos lisäät 4 molemmille puolille, sinulla on:

x - 4 + 4 = 0 + 4, mikä yksinkertaistuu:

x = 4. Joten jos x = 4, sitten toinen tekijä on nolla, mikä tarkoittaa, että myös koko polynomi on nolla.

Koska alkuperäinen polynomi oli toisen asteen (korkein eksponentti oli kaksi), tiedät, että tällä polynomilla on vain kaksi mahdollista juuria. Olet jo löytänyt ne molemmat, joten sinun tarvitsee vain listata ne:

x = 0, x = 4

Löydä juuret tekijän mukaan: Esimerkki 2

Tässä on vielä yksi esimerkki siitä, kuinka löytää juuret tekijätekniikalla käyttämällä hienoa algebraa matkan varrella. Mieti polynomia x⁴ - 16. Pikakatse sen eksponenteihin osoittaa, että tällä polynomilla pitäisi olla neljä juuria; nyt on aika löytää ne.

Huomasitko, että tämä polynomi voidaan kirjoittaa uudelleen neliöerona? Joten sijasta x⁴ - 16, sinulla on:

(x²)² – 4²

Mikä, käyttämällä neliöerojen kaavaa, päättelee seuraavan:

(x² – 4)(x² + 4)

Ensimmäinen termi on jälleen neliöiden ero. Joten vaikka et voi muuttaa oikealla olevaa termiä enää, voit vertaa vasemmalla olevaa termiä askeleen enemmän:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Nyt on aika löytää nollat. Nopeasti käy selväksi, että jos x = 2, ensimmäinen tekijä on nolla, ja siten koko lauseke on nolla.

Samoin, jos x = -2, toinen tekijä on nolla ja siten koko lauseke.

Niin x = 2 ja x = -2 ovat tämän polynomin molemmat nollat ​​tai juuret.

Mutta entä viimeinen kausi? Koska sillä on "2" eksponentti, sillä pitäisi olla kaksi juuria. Mutta et voi laskea tätä lauseketta käyttämällä todellisia lukuja, joihin olet tottunut. Sinun on käytettävä erittäin edistynyttä matemaattista konseptia, jota kutsutaan kuvitteellisiksi numeroiksi tai haluttaessa kompleksisiksi numeroiksi. Se on kaukana nykyisen matematiikan käytännöstäsi, joten toistaiseksi se on riittävän huomattava, että sinulla on kaksi todellista juuria (2 ja -2) ja kaksi kuvitteellista juuria, jotka jätetään määrittelemättä.

Etsi juuret piirtämällä

Voit myös löytää tai ainakin estimoida juuret graafisesti. Jokainen juuri edustaa pistettä, jossa funktion kuvaaja ylittää x akselilla. Joten jos piirrät viivan ja merkit sitten x koordinaatit, joissa viiva ylittää x akseli, voit lisätä estimoidun x näiden pisteiden arvot yhtälöön ja tarkista, oletko saanut ne oikeiksi.

Mieti polynomin ensimmäistä työskentelemääsi esimerkkiä x² - 4_x_. Jos piirrät sen varovasti, huomaat, että viiva ylittää x akseli kohdassa x = 0 ja x = 4. Jos syötät nämä arvot alkuperäiseen yhtälöön, saat:

0² - 4 (0) = 0, niin x = 0 oli kelvollinen nolla tai juuri tälle polynomille.

4² - 4 (4) = 0, niin x = 4 on myös kelvollinen nolla tai juuri tälle polynomille. Ja koska polynomi oli astetta 2, tiedät, että voit lopettaa kahden juuren löytämisen.