Kuinka laskea Eigenvalues

Sisältö

• Matriisit, Eigen-arvot ja Eigenvektorit: Mitä ne tarkoittavat
• Kuinka laskea Eigenvalues
• vinkkejä
• Eigenvektoreiden löytäminen

Kun sinulle esitetään matriisi matematiikan tai fysiikan luokassa, sinua pyydetään usein löytämään sen ominaisarvot. Jos et ole varma, mitä tämä tarkoittaa tai miten se tehdään, tehtävä on pelottava, ja siihen liittyy paljon hämmentäviä terminologioita, mikä vaikeuttaa tilannetta. Ominaisarvojen laskentaprosessi ei ole kuitenkaan liian haastava, jos pystyt ratkaisemaan kvadraattisia (tai polynomisia) yhtälöitä, jos opit matriisien, ominaisarvojen ja ominaisvektorien perusteet.

Matriisit, Eigen-arvot ja Eigenvektorit: Mitä ne tarkoittavat

Matriisit ovat numeroita, joissa A tarkoittaa yleisen matriisin nimeä, kuten tämä:

( 1 3 )

= ( 4 2 )

Kunkin sijainnin numerot vaihtelevat, ja niiden paikalla voi olla jopa algebralia lausekkeita. Tämä on 2 × 2 -matriisi, mutta niitä on erikokoisia, eikä niissä ole aina yhtä monta riviä ja saraketta.

Matriisien käsittely eroaa tavallisten lukujen käsittelystä, ja niiden kertomiseksi, jakamiseksi, lisäämiseksi ja vähentämiseksi toisistaan ​​on olemassa erityiset säännöt. Termejä ”ominaisarvo” ja “ominaisvektori” käytetään matriisin algebralla viitaamaan kahteen matriisin ominaissuureeseen. Tämä ominaisarvoongelma auttaa sinua ymmärtämään, mitä termi tarkoittaa:

∙ v = λ ∙ v

on yleinen matriisi kuten aiemmin, v on jokin vektori, ja λ on ominaisarvo. Katso yhtälö ja huomaa, että kun kerrotaan matriisi vektorilla v, vaikutuksena on toistaa sama vektori kerrottuna arvolla λ. Tämä on epätavallista käyttäytymistä ja ansaitsee vektorin v ja määrä λ erityisnimet: ominaisvektori ja ominaisarvo. Nämä ovat matriisin ominaisarvoja, koska kertomalla matriisi ominaisvektorilla, vektori pysyy muuttumattomana lukuun ottamatta kertoa ominaisarvon kertoimella.

Kuinka laskea Eigenvalues

Jos sinulla on matriisin ominaisarvoon liittyvä ongelma jossain muodossa, ominaisarvon löytäminen on helppoa (koska tulos on vektori, joka on sama kuin alkuperäinen, paitsi kerrottuna vakiokertoimella - omaarvo). Vastaus saadaan ratkaisemalla matriisin ominaisyhtälö:

det ( – λminä) = 0

Missä minä on identiteettimatriisi, joka on tyhjä, lukuun ottamatta 1: n sarjaa, joka kulkee vinottain matriisin alas. ”Det” tarkoittaa matriisin determinanttia, joka yleisessä matriisissa:

(a b)

= (c d)

Antaa

det = ad – bc

Joten karakteristinen yhtälö tarkoittaa:

(a - λb)

det ( – λminä) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Määritellään esimerkki matriisiksi kuten:

( 0 1 )

= (−2 −3 )

Joten se tarkoittaa:

det ( – λminä) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Ratkaisut λ: lle ovat ominaisarvoja, ja voit ratkaista tämän kuten mikä tahansa neliömäinen yhtälö. Liuokset ovat λ = - 1 ja λ = - 2.

vinkkejä

Eigenvektoreiden löytäminen

Omavektorien löytäminen on samanlainen prosessi. Käyttämällä yhtälöä:

( – λ) ∙ v = 0

jokaisen löydetyn ominaisarvon kanssa. Tämä tarkoittaa:

(a - λb) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

( – λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

Voit ratkaista tämän tarkastelemalla kutakin riviä vuorotellen. Tarvitset vain suhteen v₁ että v₂, koska siihen on äärettömän paljon potentiaalisia ratkaisuja v₁ ja v₂.