Sisältö
- Määritelmä Absoluuttisen arvon eriarvoisuus
- Kuinka ratkaista absoluuttinen arvoerot
- Absoluuttinen arvo-eriarvoisuus ilman ratkaisua
- Väli-merkintä
Absoluuttisen arvo-eriarvoisuuden ratkaiseminen on paljon kuin absoluuttisten arvoyhtälöiden ratkaiseminen, mutta mielessä on pari ylimääräistä yksityiskohtaa. Se auttaa ratkaisemaan jo mukavasti absoluuttisia arvoyhtälöitä, mutta on hyvä, jos opit myös niitä yhdessä!
Määritelmä Absoluuttisen arvon eriarvoisuus
Ensinnäkin absoluuttisen arvon eriarvoisuus on epätasa-arvo, johon liittyy ehdoton arvon ilmaisu. Esimerkiksi,
| 5 + x | - 10> 6 on absoluuttinen arvo-eriarvoisuus, koska sillä on eriarvomerkki,> ja absoluuttinen arvolauseke | 5 + x |.
Kuinka ratkaista absoluuttinen arvoerot
vaiheet absoluuttisen arvo-eriarvoisuuden ratkaisemiseksi ovat paljon kuin absoluuttisen arvoyhtälön ratkaisemisen vaiheet:
Vaihe 1: Eristä absoluuttisen arvon lauseke eriarvoisuuden yhdeltä puolelta.
Vaihe 2: Ratkaise eriarvoisuuden positiivinen "versio".
Vaihe 3: Ratkaise eriarvoisuuden negatiivinen "versio" kertomalla epätasa-arvon toisella puolella oleva määrä −1: llä ja kääntämällä eriarvoisuusmerkki.
Siinä on paljon tehtävää kerralla, joten tässä on esimerkki, joka opastaa sinut vaiheiden läpi.
Ratkaise eriarvoisuus x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Voit tehdä tämän hankkimalla | 5 + 5_x_ | itsessään eriarvoisuuden vasemmalla puolella. Sinun tarvitsee vain lisätä 3 kummallekin puolelle:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Nyt on olemassa kaksi "versiota" eriarvoisuudesta, joka meidän on ratkaistava: positiivinen "versio" ja negatiivinen "versio".
Oletetaan tässä vaiheessa hyvin, että asiat ovat sellaisina kuin ne näyttävät: että 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Tämä on yksinkertainen epätasa-arvo; sinun täytyy vain ratkaista x kuten tavallista. Vähennä 5 molemmilta puolilta, jaa sitten molemmat puolet 5: llä.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (vähennä viisi molemmilta puolilta)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (jaa molemmat puolet viidellä)
x > 0.
Ei paha! Joten eräs mahdollinen ratkaisu eriarvoisuuteen on tämä x > 0. Koska kyseessä on ehdoton arvo, sen aika harkitsee toista mahdollisuutta.
Tämän seuraavan bitin ymmärtäminen auttaa muistamaan, mitä absoluuttinen arvo tarkoittaa. Absoluuttinen arvo mittaa lukujen etäisyyden nollasta. Etäisyys on aina positiivinen, joten 9 on yhdeksän yksikköä nollasta, mutta −9 on myös yhdeksän yksikköä nollasta.
Joten | 9 | = 9, mutta | −9 | = 9 samoin.
Palataan nyt yllä olevaan ongelmaan. Yllä oleva työ osoitti, että 5 + 5_x_ | > 5; toisin sanoen "jonkin" absoluuttinen arvo on suurempi kuin viisi. Nyt mikä tahansa positiivinen luku, joka on suurempi kuin viisi, tulee olemaan kauempana nollasta kuin viisi on. Joten ensimmäinen vaihtoehto oli, että "jotain" 5 + 5_x_ on suurempi kuin 5.
Se on: 5 + 5_x_> 5.
Edellä vaiheessa 2 käsitelty skenaario.
Ajattele nyt vähän kauemmas. Mikä muu on viiden yksikön päässä nollasta? No, negatiivinen viisi on. Ja mikä tahansa kauempana negatiivisen viiden numeroriviltä tulee olemaan vielä kauempana nollasta. Joten "jotain" voi olla negatiivinen luku, joka on kauempana nollasta kuin negatiivinen viisi. Se tarkoittaa, että se olisi suurempi kuulostava numero, mutta teknisesti vähemmän kuin negatiivinen viisi, koska se liikkuu negatiivisessa suunnassa numeroviivalla.
Joten "jotain", 5 + 5x, voisi olla alle −5.
5 + 5_x_ <−5
Nopea tapa tehdä tämä algebrallisesti on kertoa epätasa-arvon toisella puolella oleva määrä 5 negatiivisella ja kääntää sitten eriarvoisuusmerkki:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Ratkaise sitten tavalliseen tapaan.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (vähennä 5 molemmilta puolilta)
5_x_ <−10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
x < −2.
Joten kaksi mahdollista ratkaisua eriarvoisuuteen ovat x > 0 tai x <−2. Tarkista itsesi kytkemällä muutama mahdollinen ratkaisu varmistaaksesi, että eriarvoisuus on edelleen totta.
Absoluuttinen arvo-eriarvoisuus ilman ratkaisua
On skenaario, jossa olisi ei ratkaisuja absoluuttiseen arvo-eriarvoisuuteen. Koska absoluuttiset arvot ovat aina positiivisia, ne eivät voi olla yhtä suuria tai pienempiä kuin negatiiviset luvut.
Joten | x | <−2: lla on ei ratkaisua koska absoluuttisen arvon ilmaisun lopputuloksen on oltava positiivinen.
Väli-merkintä
Kirjoita ratkaisu pääesimerkkiisi aikavälin merkintä, mieti, miten ratkaisu näyttää numeroriviltä. Ratkaisumme oli x > 0 tai x <−2. Numerorivillä tarkoitetaan avointa pistettä 0: ssa, jolloin linja ulottuu positiiviseen äärettömyyteen, ja avointa pistettä pisteessä −2, kun linja ulottuu negatiiviseen äärettömyyteen. Nämä ratkaisut osoittavat toisistaan poispäin, eivät toisiaan kohti, joten ota kukin pala erikseen.
Jos numero on rivillä x> 0, siinä on avoin piste nollassa ja sitten viiva, joka ulottuu äärettömyyteen. Välimerkinnässä avoin piste on esitetty suluilla (), ja suljettu piste tai epätasa-arvot ≥ tai ≤ käyttäisivät hakasulkeita. Joten x > 0, kirjoita (0, ∞).
Toinen puoli, x <−2, numerorivillä on avoin piste −2: ssä ja sitten nuoli, joka ulottuu kokonaan pisteeseen ∞. Aikavälissä, thats (−∞, −2).
"Tai" välin merkinnässä on unionin merkki, ∪.
Joten ratkaisu välimerkinnässä on (−∞, −2) ∪ (0, ∞).