Kuinka yksinkertaistaa monimutkaisia ​​numeroita

Sisältö

• TL; DR (liian pitkä; ei lukenut)
• Mikä on kompleksiluku?
• Perussäännöt monimutkaisilla numeroilla varustetulle algebralle
• Jakamalla kompleksiluvut
• Monimutkaisten numeroiden yksinkertaistaminen

Algebraan liittyy usein lausekkeiden yksinkertaistaminen, mutta jotkut lausekkeet ovat hämmentävämpiä käsittelemään kuin toiset. Kompleksiluvut sisältävät määrän, joka tunnetaan nimellä minä, ”kuvitteellinen” numero ominaisuuden kanssa minä = √ − 1. Jos joudut yksinkertaisesti käyttämään lauseketta, joka sisältää monimutkaista numeroa, se voi tuntua pelottavalta, mutta se on melko yksinkertainen prosessi, kun olet oppinut perussäännöt.

TL; DR (liian pitkä; ei lukenut)

Yksinkertaista monimutkaisia ​​lukuja noudattamalla monimutkaisten numeroiden algebran sääntöjä.

Mikä on kompleksiluku?

Kompleksiluvut määritetään sisällyttämällä minä termi, joka on miinus yhden neliöjuuri. Perustason matematiikassa negatiivisten lukujen neliöjuuria ei todellakaan ole, mutta ne ilmenevät toisinaan algebran ongelmissa. Kompleksinumeron yleinen muoto osoittaa niiden rakenteen:

z = + bi

Missä z merkitsee kompleksinumeron, edustaa mitä tahansa numeroa (kutsutaan "todelliseksi" osaksi), ja b edustaa toista numeroa (kutsutaan ”kuvitteelliseksi” osaksi), jotka molemmat voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Joten esimerkki kompleksiluku on:

z = 2 −4_i_

Koska kaikki negatiivisten lukujen neliöjuuret voidaan edustaa kerrannaisina minä, tämä on muoto kaikille kompleksille numeroille. Teknisesti säännöllinen numero kuvaa vain monimutkaisen numeron erikoistapausta, jossa b = 0, joten kaikkia lukuja voidaan pitää monimutkaisina.

Perussäännöt monimutkaisilla numeroilla varustetulle algebralle

Voit lisätä ja vähentää monimutkaisia ​​lukuja lisäämällä tai vähentämällä todelliset ja kuvitteelliset osat erikseen. Joten monimutkaisille numeroille z = 2 - 4_i_ ja w = 3 + 5_i_, summa on:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)minä

= 5 + 1_i_ = 5 + minä

Numeroiden vähentäminen toimii samalla tavalla:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)minä

= −1 - 9_i_

Kertominen on toinen yksinkertainen toimenpide monimutkaisilla numeroilla, koska se toimii kuin tavallinen kertoaminen paitsi, että sinun on muistettava se minä² = −1. Joten lasketaan 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Mutta siitä lähtien minä²= −1, sitten:

-12_i_² = −12 ×−1 = 12

Täysillä monimutkaisilla numeroilla (käyttämällä z = 2 - 4_i_ ja w = 3 + 5_i_ uudelleen), kerrot ne samalla tavalla kuin tavallisilla numeroilla, kuten ( + b) (C + d) käyttämällä ”ensimmäistä, sisäistä, ulkoista, viimeistä” (FOIL) menetelmää ( + b) (C + d) = ac + BC + ilmoitus + bd. Muista vain yksinkertaistaa kaikkia tapauksia minä². Joten esimerkiksi:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Jakamalla kompleksiluvut

Kompleksilukujen jakamiseen sisältyy kertomalla fraktion numeroija ja nimittäjä nimittäjän kompleksisella konjugaatiolla. Kompleksi-konjugaatti tarkoittaa vain kompleksinumeron versiota kuvitteellisen osan kanssa käännettynä merkissä. Joten z = 2 - 4_i_, kompleksi-konjugaatti z = 2 + 4_i_, ja ​​varten w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Ongelma:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Tarvittava konjugaatti on w*. Jaa jakaja ja nimittäjä tällä tavalla saadaksesi:

z / w = (2 - 4_i_) (3 - 5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Ja sitten työskentelet läpi kuten edellisessä osassa. Laskuri antaa:

(2 - 4_i_) (3 - 5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

Ja nimittäjä antaa:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Tämä tarkoittaa:

z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Monimutkaisten numeroiden yksinkertaistaminen

Käytä yllä olevia sääntöjä yksinkertaistaaksesi monimutkaisia ​​lausekkeita. Esimerkiksi:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - minä)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ minä))

Tätä voidaan yksinkertaistaa käyttämällä laskurin lisäyssääntöä, nimittäjän kertolaskua ja suorittamalla jako. Laskurille:

(4 + 2_i_) + (2 - minä) = 6 + minä

Nimittäjälle:

(2 + 2_i _) (2+ minä) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Näiden asettaminen takaisin paikoilleen antaa:

z = (6 + minä) / (2 + 6_i_)

Kertomalla molemmat osat nimittäjän konjugaatiolla saadaan:

z = (6 + minä) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Joten tämä tarkoittaa z yksinkertaistaa seuraavasti:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - minä)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ minä)) = 9/20 −17_i_ / 20