Sisältö
Yksi tärkeistä operaatioista, joita teet laskennassa, on johdannaisten löytäminen. Funktion johdannaista kutsutaan myös funktion muutosnopeudeksi. Esimerkiksi, jos x (t) on auton sijainti milloin tahansa t, niin x: n johdannainen, joka kirjoitetaan dx / dt, on auton nopeus. Johdannainen voidaan myös visualisoida funktion kuvaajan tangenssin viivan kaltevuudeksi. Teoreettisella tasolla matemaatikot löytävät näin johdannaisia. Käytännössä matemaatikot käyttävät perussääntöjä ja hakutaulukoita.
Johdannainen rinteenä
Kahden pisteen välisen linjan kaltevuus on nousu tai ero y-arvoissa jaettuna ajon avulla, tai ero x-arvoissa. Funktion y (x) kaltevuus tietylle x: n arvolle on määritelty linjan kaltevuudeksi, joka on tangentti funktion kohdalla. Laskeaksesi kaltevuuden, rakennat linjan pisteen ja lähellä olevan pisteen välille, missä h on hyvin pieni luku. Tämän rivin ajo tai muutos x-arvossa on h, ja nousu tai muutos y-arvossa on y (x + h) - y (x). Näin ollen y (x): n kaltevuus pisteessä on suunnilleen yhtä suuri kuin / = / h. Jotta kaltevuus saadaan tarkalleen, lasketaan kaltevuuden arvo, kun h pienenee ja pienenee siihen rajaan, jossa se menee nollaan. Tällä tavalla laskettu kaltevuus on y (x): n johdannainen, joka kirjoitetaan muodolla y '(x) tai dy / dx.
Tehofunktion johdannainen
Voit käyttää rinne / raja-menetelmää funktioiden johdannaisten laskemiseen, joissa y on x yhtä suuri kuin a: n teho tai y (x) = x ^ a. Esimerkiksi, jos y on x kuutio, y (x) = x ^ 3, dy / dx on raja, kun h siirtyy nollaan / h. Laajentamalla (x + h) ^ 3 saadaan / h, joka pienenee arvoon 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2, kun jaat h: llä. Rajassa, kun h menee nollaan, myös kaikki termit, joissa h on, menevät nollaan. Joten, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Voit tehdä tämän arvoille, jotka ovat muita kuin 3, ja yleensä voit osoittaa, että d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Johdannainen tehosarjasta
Monia funktioita voidaan kirjoittaa niin kutsuttuina tehosarjoina, jotka ovat äärettömien lukutermien summa, joissa kukin on muodossa C (n) x ^ n, missä x on muuttuja, n on kokonaisluku ja C ( n) on tietty numero jokaiselle n: n arvolle. Esimerkiksi sinifunktion tehosarjat ovat Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., missä "..." tarkoittaa termejä, jotka jatkavat äärettömään. Jos tiedät funktion tehosarjan, voit laskea funktion derivaatan tehon x ^ n johdannaisella. Esimerkiksi Sin (x) -johdannainen on yhtä suuri kuin 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., mikä sattuu olemaan Cos (x): n tehosarja.
Johdannaiset taulukoista
Perustoimintojen johdannaiset, kuten voimat, kuten x ^ a, eksponentiaaliset funktiot, lokifunktiot ja trig-toiminnot, löytyvät käyttämällä rinne / raja-menetelmää, tehosarjan menetelmää tai muita menetelmiä. Nämä johdannaiset luetellaan sitten taulukoissa. Voit esimerkiksi etsiä, että Sin (x): n johdannainen on Cos (x). Kun monimutkaiset toiminnot ovat yhdistelmiä perustoiminnoista, tarvitset erityissääntöjä, kuten ketjusääntö ja tuotesääntö, jotka on myös annettu taulukoissa. Esimerkiksi, käytät ketjusääntöä löytääksesi, että Sinin (x ^ 2) johdannainen on 2xCos (x ^ 2). Tuotesäännön avulla löydät, että xSin (x): n johdannainen on xCos (x) + Sin (x). Taulukoita ja yksinkertaisia sääntöjä käyttämällä voit löytää minkä tahansa funktion johdannon. Mutta kun toiminto on erittäin monimutkainen, tutkijat turvautuvat joskus tietokoneohjelmiin saadakseen apua.