Kuinka löytää kahden numeron suurin yhteinen tekijä

Sisältö

• Mikä on tekijä?
• Suurimman yhteisen tekijän löytäminen: menetelmä yksi
• Suurimman yhteisen tekijän löytäminen: menetelmä 2
• Fraktioiden yksinkertaistaminen yleisillä tekijöillä

Kahden numeron suurimman yhteisen tekijän eli GCF: n löytäminen on hyödyllistä monissa matematiikan tilanteissa, mutta etenkin murto-osien yksinkertaistamisessa. Jos kamppailet tämän kanssa tai etsit yhteisiä nimittäjiä, kahden menetelmän oppiminen yhteisten tekijöiden löytämiseksi auttaa sinua saavuttamaan tavoitteesi. Ensinnäkin on hyvä idea oppia tekijöiden perusteet; Sitten voit tarkastella kahta lähestymistapaa löytääkseen yhteisiä tekijöitä. Lopuksi voit tarkastella kuinka soveltaa tietosi murto-osan yksinkertaistamiseksi.

Mikä on tekijä?

Kertoimet ovat lukuja, jotka kerrotaan yhdessä toisen numeron tuottamiseksi. Esimerkiksi 2 ja 3 ovat kertoimia 6, koska 2 × 3 = 6. Samoin 3 ja 3 ovat kertoimia 9, koska 3 × 3 = 9. Kuten ehkä tiedät, alkuluvut ovat lukuja, joilla ei ole muita tekijöitä kuin itsensä ja 1. Joten 3 on alkuluku, koska ainoat kaksi kokonaislukua (kokonaislukua), jotka voivat kertoa yhdessä vastauksena 3, ovat 3 ja 1. Samalla tavalla 7 on alkuluku, ja niin on 13 .

Tämän vuoksi on usein hyödyllistä jakaa luku ”alkeiskertoimiksi”. Tämä tarkoittaa kaikkien toisen luvun kaikkien alkulukukertoimien löytämistä. Periaatteessa se jakaa numeron osaksi perustavanlaatuisia "rakennuspalikoita", mikä on hyödyllinen askel kohti kahden luvun suurimman yhteisen tekijän löytämistä ja on myös korvaamaton, kun on kyse neliöjuurten yksinkertaistamisesta.

Suurimman yhteisen tekijän löytäminen: menetelmä yksi

Yksinkertaisin tapa löytää kahden luvun suurin yhteinen tekijä on yksinkertaisesti luetella kunkin luvun kaikki tekijät ja etsiä korkein luku, joka molemmilla on yhteinen. Kuvittele, että haluat löytää suurimman yhteisen kertoimen 45 ja 60. Ensin tarkastellaan eri lukuja, jotka voit kertoa yhdessä tuottamaan 45.

Helpoin tapa aloittaa on ne kaksi, jotka tiedät toimivan, jopa alkuluvulla. Tässä tapauksessa tiedämme 1 × 45 = 45, joten tiedämme, että 1 ja 45 ovat tekijöitä 45. Nämä ovat 45: n ensimmäinen ja viimeinen tekijä, joten voit vain täyttää sieltä. Seuraavaksi selvitetään onko 2 tekijä. Tämä on helppoa, koska parillinen luku jaetaan kahdella, ja pariton luku ei tule. Joten tiedämme, että 2 ei ole kerroin 45. Entä 3? Sinun pitäisi pystyä havaitsemaan, että 3 on kerroin 45, koska 3 × 15 = 45 (voit aina rakentaa siihen, mitä osaat, tehdäksesi tämän, esimerkiksi tiedät, että 3 × 12 = 36, ja lisäämällä kolme tätä johtaa sinut 45).

Seuraavaksi, onko 4 kerroin 45? Ei - tiedät 11 × 4 = 44, joten se ei voi olla! Entä seuraavaksi 5? Tämä on toinen helppo, koska mikä tahansa luku, joka päättyy arvoon 0 tai 5, jaetaan luvulla 5. Ja tällä voit helposti havaita, että 5 × 9 = 45. Mutta 6 ei ole hyvä, koska 7 × 6 = 42 ja 8 × 6 = 48. Tästä voit myös nähdä, että 7 ja 8 eivät ole tekijöitä 45: lle. Tiedämme jo, että 9 on, ja on helppo nähdä, että 10 ja 11 eivät ole tekijöitä. Jatka tätä prosessia ja huomaat, että 15 on tekijä, mutta mikään muu ei ole.

Joten kertoimet 45 ovat: 1, 3, 5, 9, 15 ja 45.

60 vuoden ajan suoritat täsmälleen saman prosessin. Tällä kertaa luku on parillinen (joten tiedät, että 2 on kerroin) ja jakaa luvulla 10 (joten 5 ja 10 ovat molemmat tekijät), mikä tekee asioista hieman helpompaa. Kun olet käynyt läpi prosessin uudelleen, sinun pitäisi nähdä, että tekijät 60 ovat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60.

Kahden luettelon vertailu osoittaa, että 15 on suurin yleinen tekijä 45 ja 60. Tämä menetelmä voi olla aikaa vievä, mutta se on yksinkertainen ja toimii aina. Voit myös aloittaa mistä tahansa korkeasta yhteisestä tekijästä, jonka voit havaita heti, ja etsiä sitten suurempia tekijöitä jokaisesta luvusta.

Suurimman yhteisen tekijän löytäminen: menetelmä 2

Toinen tapa löytää GCF kahdelle numerolle on käyttää alkutekijöitä. Ensisijaisen factorisaatioprosessi on hiukan helpompi ja jäsenneltympi kuin jokaisen tekijän löytäminen. Mennään läpi prosessille 42 ja 63.

Ensisijaisuuskerroin sisältää periaatteessa luvun hajottamisen, kunnes sinulle jää vain alkuluvut. On parasta aloittaa pienimmältä pohjimmalta (kahdelta) ja työskennellä sieltä. Joten 42: n kohdalla on helppo nähdä, että 2 × 21 = 42. Sitten työskentele 21: stä: Onko 2 tekijä? Ei. Onko 3? Joo! 3 × 7 = 21, ja 3 ja 7 ovat molemmat alkuluvut. Tämä tarkoittaa, että alkutekijät 42: lla ovat 2, 3 ja 7. Ensimmäinen ”tauko” käyi 2: lla saadakseen arvoon 21 ja toinen jakoi tämän arvoon 3 ja 7. Voit tarkistaa tämän kertomalla kaikki tekijät yhteen ja tarkistamalla saat alkuperäisen numeron: 2 × 3 × 7 = 42.

63: lle 2 ei ole tekijä, mutta 3 on, koska 3 × 21 = 63. Jälleen 21 jakautuu 3: ksi ja 7: ksi - molemmat alkeisiksi -, joten tiedät alkutekijät! Tarkastus osoittaa, että 3 × 3 × 7 = 63, tarpeen mukaan.

Löydät suurimman yhteisen tekijän tarkastelemalla, mitkä päätekijät kahdella numerolla on yhteisiä. Tässä tapauksessa 42: lla on 2, 3 ja 7 ja 63: lla 3, 3 ja 7. Niillä on 3 ja 7 yhteistä. Korkeimman yhteisen kertoimen löytämiseksi kerrotaan kaikki yleiset alkutekijät. Tässä tapauksessa 3 × 7 = 21, joten 21 on suurin yhteinen tekijä 42: lle ja 63: lle.

Myös edellinen esimerkki voidaan ratkaista nopeammin tällä tavalla. Koska 45 on jaettavissa kolmella (3 × 15 = 45) ja 15 on myös jaettavissa kolmella (3 × 5 = 15), 45: n pääkertoimet ovat 3, 3 ja 5. 60: n tapauksessa se on jaollinen kahdella (2). × 30 = 60), 30 jaetaan myös kahdella (2 × 15 = 30), ja sitten sinulle jää 15, jolla on tiedossa kolme ja viisi päätekijänä, jättäen 2, 2, 3 ja 5. Kun verrataan kahta luetteloa, kolme ja viisi ovat yleisiä alkutekijöitä, joten suurin yhteinen kerroin on 3 × 5 = 15.

Jos yhteisiä päätekijöitä on kolme tai useampia, kerrotaan ne kaikki samalla tavalla saadaksesi suurin yhteinen tekijä.

Fraktioiden yksinkertaistaminen yleisillä tekijöillä

Jos sinulle esitetään murto-osa, kuten 32/96, se voi tehdä sen jälkeiset laskelmat erittäin monimutkaisiksi, ellet löydä tapaa murto-osan yksinkertaistamiseen. Kun löydät pienimmän yhteisen kertoimen 32 ja 96, kerrotaan numero, joka jaetaan molemmilla, jotta saadaan yksinkertaisempi murto. Tässä tapauksessa:

32 = 2 × 16

16 = 2 × 2 × 2 × 2

Joten 32 = 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

96: lle prosessi antaa:

96 = 48 × 2

48 = 24 × 2

24 = 12 × 2

12 = 6 × 2

6 = 3 × 2

Joten 96 = 2⁵ × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Pitäisi olla selvää, että 2⁵ = 32 on korkein yhteinen tekijä. Jakamalla molemmat osat 32: lla saadaan:

32/96 = 1/3

Yhteisten nimittäjien löytäminen on samanlainen prosessi. Kuvittele, että sinun oli lisättävä fraktiot 15/45 ja 40/60. Ensimmäisestä esimerkistä tiedämme, että 15 on yleisin tekijä 45 ja 60, joten voimme ilmaista heti luvut 5/15 ja 10/15. Koska 3 × 5 = 15, ja molemmat numerot ovat myös jaettavissa viidellä, voimme jakaa molempien fraktioiden molemmat osat viidellä saadaksesi 1/3 ja 2/3. Nyt niitä on paljon helpompi lisätä ja nähdä, että 15/45 + 40/60 = 1.