Sisältö
Tilastossa Gaussin eli normaalia jakaumaa käytetään karakterisoimaan monimutkaisia järjestelmiä, joissa on monia tekijöitä. Kuten Stephen Stiglerin Tilastohistoriassa on kuvattu, Abraham De Moivre keksi jakelun, jolla on Karl Fredrick Gaussin nimi. Gaussin panos oli hänen soveltaessaan jakautumista pienimmän neliösumman lähestymistapaan minimoimaan virheitä sovittamalla tietoja parhaiten sopivalle riville. Hän teki siitä tärkeimmän virhejakauman tilastoissa.
Motivaatio
Mikä on datanäytteen jakauma? Entä jos et tiedä tietojen taustalla olevaa jakelua? Onko mitään tapaa testata oletuksia tiedoista tietämättä niiden jakaumaa? Central Limit -lauseen ansiosta vastaus on kyllä.
Lause
Siinä todetaan, että äärettömän populaation otoksen keskiarvo on suunnilleen normaali tai Gaussin, ja sen keskiarvo on sama kuin taustalla olevan populaation ja varianssi on yhtä suuri kuin populaation varianssi jaettuna otoksen koosta. Lähestyminen paranee, kun näytteen koko kasvaa.
Lähentämislauseke on joskus virheellinen johtopäätöksenä lähentymisestä normaalijakaumaan. Koska likimääräinen normaalijakauma muuttuu näytteen koon kasvaessa, tällainen lausunto on harhaanjohtava.
Lause on kehittänyt Pierre Simon Laplace.
Miksi sen kaikkialla
Normaalijakaumat ovat läsnä kaikkialla. Syynä on Central Limit -lause. Usein, kun arvo mitataan, se on monien riippumattomien muuttujien summavaikutus. Siksi itse mitattavalla arvolla on sille näytteen keskiarvo. Esimerkiksi urheilijoiden suoritustasojen jakautumisella voi olla kello-muoto johtuen ruokavalion, koulutuksen, genetiikan, valmennuksen ja psykologian eroista. Jopa miesten korkeudet jakautuvat normaalisti, koska ne ovat monien biologisten tekijöiden funktio.
Gaussin kopula
Se, mitä kutsutaan "kopulafunktioksi" Gaussin jakelun kanssa, oli uutinen vuonna 2009, koska sitä käytettiin vakuudellisiin joukkovelkakirjalainoihin sijoittamisen riskin arvioinnissa. Tehtävän väärinkäytöllä oli merkitystä vuosien 2008–2009 finanssikriisissä. Vaikka kriisillä oli monia syitä, jälkikäteen Gaussin jakaumia ei todennäköisesti olisi pitänyt käyttää. Toiminnolla, jolla on paksumpi häntä, olisi ollut suurempi todennäköisyys haittavaikutuksille.
Johtaminen
Keskusrajalause voidaan todistaa monissa riveissä analysoimalla hetken tuottava funktio (mgf) (otoksen keskiarvo - väestön keskiarvo) /? (Populaation varianssi / otoksen koko) taustalla olevan populaation mgf: n funktiona. Lauseen likimääräinen osa johdetaan laajentamalla taustalla olevan populaation mgf: tä tehosarjana, jolloin useimmat termit ovat merkityksettömiä, koska otoskoko kasvaa.
Se voidaan osoittaa paljon harvemmalla rivillä käyttämällä Taylorin laajennusta saman funktion ominaisyhtälössä ja tekemällä näytteen koko suureksi.
Laskennallinen mukavuus
Joidenkin tilastollisten mallien mukaan virheet ovat Gaussin virheitä. Tämä mahdollistaa normaalimuuttujien, kuten chi-neliö- ja F-jakauman, funktioiden jakautumisen käytön hypoteesitestauksessa. Erityisesti F-testissä F-tilasto koostuu chi-neliöjakauman suhteesta, jotka ovat itse normaalin varianssin parametrien funktioita. Näiden kahden suhde aiheuttaa varianssin poistumisen, mikä mahdollistaa hypoteesin testaamisen tietämättä variaatioista niiden normaalisuuden ja vakion lisäksi.