Sisältö
Matematiikassa syntyy joskus tarvetta todistaa, ovatko funktiot lineaarisessa merkityksessä riippuvaisia vai riippumattomia toisistaan. Jos sinulla on kaksi lineaarisesti riippuvaa funktiota, näiden funktioiden yhtälöiden piirtäminen johtaa pisteisiin, jotka ovat päällekkäisiä. Riippumattomilla yhtälöillä varustetut toiminnot eivät ole päällekkäisiä grafoituna. Yksi menetelmä funktion riippuvuuden tai riippumattomuuden määrittämiseksi on funktion Wronskian-arvon laskeminen.
Mikä on Wronskian?
Kahden tai useamman funktion Wronskian on se, mitä tunnetaan determinanttina, joka on erityinen funktio, jota käytetään matemaattisten esineiden vertailuun ja tiettyjen tosiasioiden todistamiseen niistä. Wronskian tapauksessa determinanttia käytetään osoittamaan riippuvuus tai riippumattomuus kahden tai useamman lineaarisen funktion välillä.
Wronskian matriisi
Wronskian lineaarifunktioiden laskemiseksi funktiot on ratkaistava samalle arvolle matriisissa, joka sisältää sekä funktiot että niiden johdannaiset. Esimerkki tästä on W (f, g) (t) = | ff((TT)) gg((TT)) |, joka antaa Wronskian kahdelle toiminnolle (f ja g), jotka on ratkaistu yhdelle arvolle, joka on suurempi kuin nolla (t); näet kaksi funktiota f (t) ja g (t) matriisin ylimmällä rivillä ja johdannaiset f (t) ja g (t) alarivillä. Huomaa, että Wronskiania voidaan käyttää myös suurempiin sarjoihin. Jos esimerkiksi testaat kolme funktiota Wronskian avulla, saatat täyttää matriisin funktioilla ja johdannaisilla f (t), g (t) ja h (t).
Wronskian ratkaiseminen
Kun funktiot on järjestetty matriisiin, kerro jokainen funktio ristiin toisen funktion johdannaisen kanssa ja vähennä ensimmäinen arvo toisesta. Yllä olevassa esimerkissä tämä antaa sinulle W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Jos lopullinen vastaus on nolla, tämä osoittaa, että kaksi funktiota ovat riippuvaisia. Jos vastaus on jokin muu kuin nolla, toiminnot ovat riippumattomia.
Wronskian esimerkki
Jotta saat paremman kuvan siitä, miten tämä toimii, oletetaan, että f (t) = x + 3 ja g (t) = x - 2. Arvon t = 1 avulla voit ratkaista funktiot muodossa f (1) = 4 ja g (1) = -1. Koska nämä ovat lineaarisia perusfunktioita, joiden kaltevuus on 1, niin f (t): n ja g (t): n johdannaiset ovat yhtä suuret 1. Arvoja ristiinkerroittamalla saadaan W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), joka antaa lopputuloksen 5. Vaikka lineaarisilla funktioilla on molemmat sama kaltevuus, ne ovat riippumattomia, koska niiden pisteet eivät ole päällekkäisiä. Jos f (t) olisi antanut tuloksen -1 sijaan 4, Wronskian olisi antanut tuloksen nolla sen sijaan, että osoittaisi riippuvuus.