Sisältö
Matematiikassa sekvenssi on mikä tahansa numerojono, joka on järjestetty kasvavaan tai laskevaan järjestykseen. Sarjasta tulee geometrinen sekvenssi, kun pystyt saamaan jokaisen luvun kertomalla edellisen numeron yhteisellä kertoimella. Esimerkiksi sarjat 1, 2, 4, 8, 16. . . on geometrinen sekvenssi, jolla on yhteinen tekijä 2. Jos kerrotaan mikä tahansa sarjan luku kahdella, saat seuraavan numeron. Sitä vastoin sekvenssi 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . ei ole geometrinen, koska lukujen välillä ei ole yhteistä tekijää. Geometrisellä sekvenssillä voi olla murto-osa yhteinen tekijä, jolloin kukin peräkkäinen luku on pienempi kuin sitä edeltävä luku. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . on esimerkki. Sen yleinen tekijä on 1/2.
Se, että geometrisellä sekvenssillä on yhteinen tekijä, antaa sinun tehdä kaksi asiaa. Ensimmäinen on laskea mikä tahansa sekvenssin satunnainen elementti (jota matemaatikot haluavat kutsua "n: nneksi" elementiksi), ja toinen on löytää geometrisen sekvenssin summa aina n: nteen elementtiin asti. Kun summaat sekvenssin asettamalla plusmerkin kunkin termiparin väliin, muutat sekvenssin geometriseksi sarjaksi.
Yhdeksännen elementin löytäminen geometrisestä sarjasta
Yleensä voit edustaa mitä tahansa geometrista sarjaa seuraavalla tavalla:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
missä "a" on sarjan ensimmäinen termi ja "r" on yleinen tekijä. Voit tarkistaa tämän ottamalla huomioon sarjat, joissa a = 1 ja r = 2. Saat 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . se toimii!
Tämän selvittämisen jälkeen on nyt mahdollista johtaa kaava n: nnen termin sekvenssiin (xn).
xn = ar(N-1)
Eksponentti on n - 1 eikä n, jotta sekvenssin ensimmäinen termi voidaan kirjoittaa ar: na0, joka vastaa "a".
Tarkista tämä laskemalla neljäs lukukausi esimerkkisarjassa.
x4 = (1) • 23 = 8.
Geometrisen sekvenssin summan laskeminen
Jos haluat laskea eroavan sekvenssin, joka on sellainen, jonka yhteinen annos on suurempi kuin 1 tai pienempi kuin -1, voit tehdä sen vain rajallisella määrällä termejä. On kuitenkin mahdollista laskea ääretön konvergoivan sekvenssin summa, joka on sellainen, jolla on yhteinen suhde välillä 1 ja -1.
Geometrisen summakaavan kehittämiseksi aloita miettimällä mitä teet. Etsit seuraavien lisäysten kokonaismäärää:
a + ar + ar2 + ar3 +. . . ar(N-1)
Jokainen sarjan termi on arK, ja k siirtyy välillä 0 - n-1. Sarjan summan kaavassa käytetään iso sigmamerkkiä - ∑, joka tarkoittaa kaikkien ehtojen (k = 0) lisäämistä (k = n - 1).
ΣarK = a
Tämän tarkistamiseksi ota huomioon geometrisen sarjan 4 ensimmäisen lausekkeen summa, joka alkaa 1: stä ja jolla on yhteinen kerroin 2. Yllä olevassa kaavassa a = 1, r = 2 ja n = 4. Yhdistämällä nämä arvot saada:
1 • = 15
Tämä on helppo tarkistaa lisäämällä sarjan numerot itse. Itse asiassa, kun tarvitset geometrisen sarjan summaa, se yleensä helpottaa itse numeroiden lisäämistä, kun on vain muutama termi. Jos sarjassa on kuitenkin suuri määrä termejä, sen geometrisen summakaavan käyttö on paljon helpompaa.