Sisältö
Joskus "eksponentiaalinen kasvu" on vain puhekuva, viittaus kaikkeen, mikä kasvaa kohtuuttomasti tai uskomattoman nopeasti. Mutta tietyissä tapauksissa voit ajatella eksponentiaalista kasvua kirjaimellisesti. Esimerkiksi kanin populaatio voi kasvaa eksponentiaalisesti, kun jokainen sukupolvi lisääntyy, sitten niiden jälkeläiset lisääntyvät ja niin edelleen. Myös liike- tai henkilökohtaiset tulot voivat kasvaa eksponentiaalisesti. Kun sinua kehotetaan tekemään reaalimaailman laskelmia eksponentiaalisesta kasvusta, työskentelet kolmella informaatiolla: aloitusarvo, kasvunopeus (tai rappeutuminen) ja aika.
TL; DR (liian pitkä; ei lukenut)
TL; DR (liian pitkä; ei lukenut)
Laske eksponentiaalinen kasvu käyttämällä kaavaa y(T) = a__ekt, missä on arvo alussa, K on kasvu- tai rappeutumisnopeus, T on aika ja y(T) on populaation arvo ajankohtana T.
Kuinka laskea eksponentiaaliset kasvunopeudet
Kuvittele, että tutkija tutkii uuden bakteerilajin kasvua. Vaikka hän pystyi syöttämään lähtömäärän, kasvunopeuden ja ajan arvot väestönkasvun laskuriin, hän päätti laskea bakteeripopulaation kasvunopeuden manuaalisesti.
Tarkalleen ottaen huomioon tarkkaan tietoonsa, tiedemies näkee, että hänen lähtöpopulaationsa oli 50 bakteeria. Viisi tuntia myöhemmin hän mittasi 550 bakteeria.
Syötetään tutkijoiden tiedot eksponentiaalisen kasvun tai rappeutumisen yhtälöön, y(T) = a__ekt, hänellä on:
550 = 50_eK_5
Ainoa tuntematon jäljellä oleva yhtälö on Ktai eksponentiaalisen kasvunopeus.
Aloittaa ratkaisu K, jaa ensin yhtälön molemmat puolet 50: llä. Tämä antaa sinulle:
550/50 = (50_eK_5) / 50, joka yksinkertaistuu:
11 = e_k_5
Otetaan seuraavaksi molemmin puolin luonnollinen logaritmi, joka merkitään nimellä ln (x). Tämä antaa sinulle:
ln (11) = ln (e_k_5)
Luonnollinen logaritmi on käänteinen funktio ex, joten se "kumoaa" ex toimivat yhtälön oikealla puolella, jättäen sinulle:
ln (11) = _k_5
Seuraavaksi jaa molemmat puolet viidellä eristääksesi muuttujan, joka antaa sinulle:
K = ln (11) / 5
Tiedät nyt tämän bakteeripopulaation eksponentiaalisen kasvun nopeuden: K = ln (11) / 5. Jos aiot tehdä lisälaskelmia tämän väestön kanssa - esimerkiksi kytkemällä kasvunopeus yhtälöön ja arvioimalla populaation koon seuraavassa: T = 10 tuntia - on parasta jättää vastaus tähän muotoon. Mutta jos et suorita lisälaskelmia, voit syöttää tämän arvon eksponentiaaliseen funktiolaskuriin - tai tieteelliseen laskuriin - saadaksesi arvioidun arvon 0,479579. Kokeilusi tarkista parametreista riippuen voit pyöristää sen arvoon 0,48 / tunti laskennan tai merkinnän helpottamiseksi.