Sisältö
Toimintojen integrointi on yksi laskennan keskeisistä sovelluksista. Joskus tämä on yksinkertaista, kuten:
F (x) = ∫ (x3 + 8) dx
Tämän tyyppisessä suhteellisen monimutkaisessa esimerkissä voit käyttää peruskaavan versiota rajaamattomien integraalien integroimiseksi:
∫ (xn + A) dx = x(n + 1)/ (n + 1) + An + C,
jossa A ja C ovat vakioita.
Siksi tässä esimerkissä
∫ x3 + 8 = x4/ 4 + 8x + C.
Perustason neliöjuuritoimintojen integrointi
Pinnalla neliöjuuren integrointi on hankalaa. Esimerkiksi:
F (x) = ∫ √dx
Mutta voit ilmaista neliöjuuren eksponenttina, 1/2:
√ x3 = x3(1/2) = x(3/2)
Siksi integraalista tulee:
∫ (x3/2 + 2x - 7) dx
johon voit käyttää yllä olevaa tavallista kaavaa:
= x(5/2)/ (5/2) + 2 (x2/ 2) - 7x
= (2/5) x(5/2) + x2 - 7x
Monimutkaisempien neliöjuuritoimintojen integrointi
Joskus radikaalin merkin alla voi olla useampi kuin yksi termi, kuten tässä esimerkissä:
F (x) = ∫ dx
Voit käyttää u-korvausta edetäksesi. Tässä voit asettaa u yhtä suureksi nimittäjän määrän:
u = √ (x - 3)
Ratkaise tämä x: lle neliöimällä molemmat puolet ja vähentämällä:
U2 = x - 3
x = u2 + 3
Tämän avulla voit saada dx: n u: n avulla ottamalla johdannainen x:
dx = (2u) du
Korvaaminen takaisin alkuperäiseen integraaliin antaa
F (x) = ∫ (u2 + 3 + 1) / udu
= ∫du
= ∫ (2u2 + 8) du
Nyt voit integroida tämän käyttämällä peruskaavaa ja ilmaistaksesi u: n x: llä:
∫ (2u2 + 8) du = (2/3) u3 + 8u + C
= (2/3) 3 + 8 + C
= (2/3) (x - 3)(3/2) + 8 (x - 3)(1/2) + C