Euklidinen etäisyys on kahden pisteen välinen etäisyys euklidisessa tilassa. Kreikan matemaatikko Euclid suunnitteli alun perin euklidisen tilan noin 300 B.C.E. tutkia kulmien ja etäisyyksien välisiä suhteita. Tämä geometriajärjestelmä on edelleen käytössä, ja sitä lukiolaiset opiskelevat useimmiten. Euklidinen geometria koskee erityisesti kahta ja kolmiulotteisia tiloja. Se voidaan kuitenkin helposti yleistää korkeamman asteen mittoihin.
Laske euklidinen etäisyys yhdelle ulottuvuudelle. Yhden ulottuvuuden kahden pisteen välinen etäisyys on yksinkertaisesti niiden koordinaattien välisen eron absoluuttinen arvo. Matemaattisesti tämä esitetään muodossa | p1 - q1 | missä p1 on ensimmäisen pisteen ensimmäinen koordinaatti ja q1 on toisen pisteen ensimmäinen koordinaatti. Käytämme tämän eron absoluuttista arvoa, koska etäisyydellä yleensä pidetään vain negatiivista arvoa.
Ota kaksi pistettä P ja Q kaksiulotteisessa euklidisessa tilassa. Kuvailemme P: tä koordinaateilla (p1, p2) ja Q: ta koordinaateilla (q1, q2). Rakenna nyt rivisegmentti P: n ja Q: n päätepisteiden kanssa. Tämä rivisegmentti muodostaa oikean kolmion hypoteenuksen. Laajentamalla vaiheessa 1 saatuja tuloksia huomataan, että tämän kolmion jalkojen pituudet ilmoitetaan | p1 - q1 | ja | p2 - q2 |. Kahden pisteen välinen etäisyys annetaan sitten hypoteenuksen pituutena.
Pythagoran lauseen avulla määritetään hypoteenuksen pituus vaiheessa 2. Lause toteaa, että c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, missä c on oikeanpuoleisen kolmion pituisen hypotenuenin pituus ja a, b ovat toisen pituudet kaksi jalkaa. Tämä antaa meille c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Siksi etäisyys 2 pisteen P = (p1, p2) ja Q = (q1, q2) välillä kaksiulotteisessa tilassa on ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Laajenna vaiheen 3 tulokset kolmiulotteiseen avaruuteen. Pisteiden P = (p1, p2, p3) ja Q = (q1, q2, q3) välinen etäisyys voidaan sitten antaa muodossa ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Yleistä vaiheessa 4 oleva ratkaisu kahden pisteen P = (p1, p2, ..., pn) ja Q = (q1, q2, ..., qn) välisen etäisyyden välillä n mitassa. Tämä yleinen ratkaisu voidaan antaa muodossa ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).