Sisältö
Muutosnopeudet näkyvät kaikkialla tieteessä ja etenkin fysiikassa sellaisten määrien kautta kuin nopeus ja kiihtyvyys. Johdannaiset kuvaavat yhden määrän muutosnopeuden suhteessa toiseen matemaattisesti, mutta niiden laskeminen voi joskus olla monimutkaista, ja sinulle voidaan antaa kaavio kuin funktio yhtälömuodossa. Jos sinulle esitetään käyrädiagrammi ja sinun on löydettävä siitä johdannainen, et välttämättä pysty olemaan yhtä tarkkoja kuin yhtälöllä, mutta voit helposti tehdä vankan arvion.
TL; DR (liian pitkä; ei lukenut)
Valitse piste kaaviosta löytääksesi johdannaisen arvo kohdassa.
Piirrä suora piste, joka tangentti kuvaajan käyrään tässä pisteessä.
Ota tämän rivin kaltevuus löytääksesi johdannaisen arvo valitsemasi pisteen kuvaajassa.
Mikä on johdannainen?
Yhtälön erottelemisen abstraktin asettamisen ulkopuolella saatat olla hieman hämmentynyt siitä, mikä johdannainen todella on. Algebrassa funktion johdannainen on yhtälö, joka kertoo funktion "kaltevuuden" arvon missä tahansa pisteessä. Toisin sanoen se kertoo kuinka paljon yksi määrä muuttuu, kun otetaan huomioon pieni muutos toisessa. Kaaviossa viivan kaltevuus tai kaltevuus kertoo kuinka paljon riippuvainen muuttuja (sijoitettu viivaan) y-akseli) muuttuu riippumattoman muuttujan ( xakselilla).
Suorakuvaajille määritetään (vakio) muutosnopeus laskemalla kuvaajan kaltevuus. Käyrien kuvaamia suhteita ei ole yhtä helppo käsitellä, mutta periaate, jonka mukaan johdannainen tarkoittaa vain kaltevuutta (kyseisessä pisteessä), on edelleen totta.
Käyrien kuvaamissa suhteissa johdannainen saa eri arvon jokaisessa pisteessä. Kaavion derivaatan arvioimiseksi sinun on valittava piste, jolla johdannainen otetaan. Esimerkiksi, jos sinulla on käyrä, joka näyttää kuljetun matkan ajan suhteen, suoraviivaisessa kuvaajassa, kaltevuus ilmoittaa vakionopeuden. Ajan myötä muuttuvilla nopeuksilla kuvaaja olisi käyrä, mutta suora, joka vain koskettaa käyrää yhdessä pisteessä (käyrän tangentiaalinen viiva) edustaa muutosnopeutta kyseisessä pisteessä.
Valitse paikka, josta sinun on tiedettävä johdannainen osoitteessa. Valitse matka-aika-esimerkillä esimerkki aika, jolloin haluat tietää ajonopeuden. Jos sinun on tiedettävä nopeus useissa eri kohdissa, voit suorittaa tämän prosessin jokaiselle yksittäiselle pisteelle. Jos haluat tietää nopeuden 15 sekuntia liikkeen alkamisen jälkeen, valitse piste käyrässä 15 sekunnin kohdalla xakselilla.
Piirrä linja, joka on tangentiaalinen käyrälle sinua kiinnostavassa kohdassa. Ota aikaa tekemällä tätä, koska se on prosessin tärkein ja haastavin osa. Arviosi on parempi, jos piirrät tarkemman tangentin viivan. Pidä viivainta käyrän pisteeseen saakka ja säädä sen suuntausta niin, että piirretty viiva tulee vain kosketa käyrää kiinnostavassa yksittäisessä pisteessä.
Piirrä viiva niin kauan kuin kaavio sallii. Varmista, että voit helposti lukea kaksi arvoa molemmille x ja y koordinaatit, yksi lähellä linjan alkua ja toinen lähellä loppua. Sinun ei tarvitse ehdottomasti vetää pitkää viivaa (teknisesti mikä tahansa suora sopii), mutta pidemmillä viivoilla on taipumus olla helpompi mitata kaltevuus.
Etsi kaksi paikkaa linjalla ja tee muistiinpano x ja y koordinaatit heille. Kuvittele esimerkiksi tangenttiviivasi kahdeksi merkittäväksi pisteeksi x = 1, y = 3 ja x = 10, y = 30, jota voidaan kutsua kohteiksi 1 ja 2. Symbolien avulla x1 ja y1 esittämään ensimmäisen pisteen koordinaatit ja x2 ja y2 edustamaan toisen pisteen, kaltevuuden, koordinaatteja m on antanut:
m = (y2 - v1) ÷ (x2 – x1)
Tämä kertoo käyrän derivaatan kohdassa, jossa viiva koskettaa käyrää. Esimerkissä x1 = 1, x2 = 10, y1 = 3 ja y2 = 30, joten:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
Esimerkissä tämä tulos olisi nopeus valitussa pisteessä. Joten jos x-akseli mitattiin sekunneissa ja y-akseli mitattiin metreinä, tulos tarkoittaisi, että kyseinen ajoneuvo ajoi 3 metriä sekunnissa. Laskemasta määrästäsi riippumatta johdannaisen arviointi on sama.