Sisältö
Kolme yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi yleisimmin käytettyä menetelmää ovat substituutio-, eliminaatio- ja lisätyt matriisit. Substituutio ja eliminointi ovat yksinkertaisia menetelmiä, jotka voivat tehokkaasti ratkaista useimmat kahden yhtälön järjestelmät muutamalla suoraviivalla. Lisättyjen matriisien menetelmä vaatii enemmän vaiheita, mutta sen soveltaminen ulottuu laajempaan valikoimaan järjestelmiä.
korvaaminen
Substituutio on menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi poistamalla kaikki yhtälöistä lukuun ottamatta muuttujat ja ratkaisemalla sitten tämä yhtälö. Tämä saavutetaan eristämällä toinen muuttuja yhtälössä ja korvaamalla sitten arvot näille muuttujille toisessa yhtälössä. Esimerkiksi yhtälöiden x + y = 4, 2x - 3y = 3 ratkaisemiseksi eristä muuttuja x ensimmäisessä yhtälössä saadaksesi x = 4 - y, korvata sitten tämä y-arvo toisessa yhtälössä saadaksesi 2 (4 - y) - 3y = 3. Tämä yhtälö yksinkertaistuu arvoksi -5y = -5 tai y = 1. Kytke tämä arvo toiseen yhtälöön löytääksesi arvon x: x + 1 = 4 tai x = 3.
eliminointi
Eliminaatio on toinen tapa ratkaista yhtälöjärjestelmät kirjoittamalla yksi yhtälöistä vain yhden muuttujan muodossa. Poistomenetelmä saavuttaa tämän lisäämällä tai vähentämällä yhtälöt toisistaan yhden muuttujan poistamiseksi. Esimerkiksi lisäämällä yhtälöt x + 2y = 3 ja 2x - 2y = 3 saadaan uusi yhtälö, 3x = 6 (huomaa, että y-termit peruutettiin). Sitten järjestelmä ratkaistaan käyttämällä samoja menetelmiä kuin korvaamiseen. Jos yhtälöiden muuttujia on mahdotonta peruuttaa, koko yhtälö on kerrottava kertoimella, jotta kertoimet vastaavat toisiaan.
Lisätty matriisi
Lisättyjä matriiseja voidaan käyttää myös yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Lisätty matriisi koostuu riveistä jokaiselle yhtälölle, sarakkeista jokaiselle muuttujalle ja laajennetulle sarakkeelle, joka sisältää vakiotermin yhtälön toisella puolella. Esimerkiksi yhtälöjärjestelmän 2x + y = 4, 2x - y = 0 lisätty matriisi on, ...].
Ratkaisun määrittäminen
Seuraava vaihe sisältää elementtisten rivitoimintojen käyttämisen, kuten kertolasku tai jakaminen rivillä jollakin muulla vakiona kuin nolla ja rivien lisääminen tai vähentäminen. Näiden operaatioiden tavoitteena on muuntaa matriisi rivi-ešelonimuotoon, jossa kunkin rivin ensimmäinen nollakohtainen merkintä on 1, tämän merkinnän ylä- ja alapuolella olevat merkinnät ovat kaikki nollia ja kunkin ensimmäisen nollasta poikkeavat merkinnät rivi on aina oikealla puolella kaikkia tällaisia merkintöjä sen yläpuolella. Edellä mainitun matriisin rivi-ešelonimuoto on ...]. Ensimmäisen muuttujan arvo annetaan ensimmäisen rivin avulla (1x + 0y = 1 tai x = 1). Toisen muuttujan arvo saadaan toisella rivillä (0x + 1y = 2 tai y = 2).
Sovellukset
Substituutio ja eliminointi ovat yksinkertaisempia menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi, ja niitä käytetään paljon useammin kuin perusalgebrassa lisättyjä matriiseja. Substituutiomenetelmä on erityisen hyödyllinen, kun jokin muuttujista on jo eristetty yhdestä yhtälöstä. Poistomenetelmä on hyödyllinen, kun yhden muuttujan kerroin on sama (tai sen negatiivinen ekvivalentti) kaikissa yhtälöissä. Lisättyjen matriisien ensisijainen etu on, että sitä voidaan käyttää ratkaisemaan kolmen tai useamman yhtälön järjestelmät tilanteissa, joissa korvaaminen ja eliminointi on joko mahdotonta tai mahdotonta.